Условие
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) — прямой. Гипотенуза \(AB=\frac{58}{9}\), а площадь треугольника равна \(S=\frac{280}{27}\). Найдите длину большего катета.
Показать подсказку
Обозначьте катеты через \(a\) и \(b\). Используйте равенства \(a^2+b^2=AB^2\) и \(ab=2S\), чтобы найти сумму и разность катетов.
Показать решение
Пусть длины катетов равны \(a\) и \(b\). Из формулы площади \(ab=2S\), а по теореме Пифагора \(a^2+b^2=AB^2\). Поэтому\[a+b=\sqrt{AB^2+2ab}=\sqrt{AB^2+4S}=\frac{82}{9},\]\[|a-b|=\sqrt{AB^2-2ab}=\sqrt{AB^2-4S}=\frac29.\]Длина большего катета равна\[\frac{(a+b)+|a-b|}{2}=\frac{14}{3}.\]
Показать ответ
Больший катет равен \(\frac{14}{3}\).