Условие
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) — прямой. Гипотенуза \(AB=29\), а площадь треугольника равна \(S=210\). Найдите длину меньшего катета.
Показать подсказку
Обозначьте катеты через \(a\) и \(b\). Используйте равенства \(a^2+b^2=AB^2\) и \(ab=2S\), чтобы найти сумму и разность катетов.
Показать решение
Пусть длины катетов равны \(a\) и \(b\). Из формулы площади \(ab=2S\), а по теореме Пифагора \(a^2+b^2=AB^2\). Поэтому\[a+b=\sqrt{AB^2+2ab}=\sqrt{AB^2+4S}=41,\]\[|a-b|=\sqrt{AB^2-2ab}=\sqrt{AB^2-4S}=1.\]Длина меньшего катета равна\[\frac{(a+b)-|a-b|}{2}=20.\]
Показать ответ
Меньший катет равен \(20\).